Биномиальный коэффициент - это то же самое число, что и число сочетаний, только с более формальным именем из алгебры. Обозначается C(n,r) или «n над r» в столбик внутри круглых скобок, и отвечает на два разных на первый взгляд вопроса сразу: сколькими способами выбрать r предметов из n, и какой коэффициент стоит перед соответствующим членом при раскрытии (a+b)^n. Калькулятор выше считает именно это значение - введите n и r, переключатель “Сочетания” уже стоит в нужном положении.
Формула биномиального коэффициента
C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)
Здесь n! - факториал n, произведение всех целых чисел от 1 до n. Числитель растёт быстро, но знаменатель сокращает большую часть множителей, поэтому итоговое число обычно куда скромнее, чем кажется по виду формулы. Условие простое: r не может быть больше n, и оба числа должны быть целыми неотрицательными.
Например, C(6,2) = 6! / (2! × 4!) = 720 / (2 × 24) = 15. Проверка через прямое сокращение: (6×5)/(2×1) = 30/2 = 15 - сходится.
Треугольник Паскаля и сочетания n над r
Треугольник Паскаля - это визуальное представление тех же самых чисел. Каждая строка треугольника с номером n состоит из значений C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) по порядку слева направо. Любое число внутри треугольника равно сумме двух чисел над ним из предыдущей строки - и это свойство совпадает с алгебраическим тождеством C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r).
Строка для n=4:
C(4,0) = 4!/(0!×4!) = 1 C(4,1) = 4!/(1!×3!) = 24/6 = 4 C(4,2) = 4!/(2!×2!) = 24/4 = 6 C(4,3) = 4!/(3!×1!) = 24/6 = 4 C(4,4) = 4!/(4!×0!) = 1
Получается ряд 1, 4, 6, 4, 1 - симметричный, как и должно быть у любой строки треугольника: C(n,r) всегда равен C(n,n-r).
Строка для n=5:
C(5,0) = 1 C(5,1) = 5!/(1!×4!) = 120/24 = 5 C(5,2) = 5!/(2!×3!) = 120/12 = 10 C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10 C(5,4) = 5!/(4!×1!) = 120/24 = 5 C(5,5) = 1
Ряд 1, 5, 10, 10, 5, 1 - снова симметричный, и каждое число внутри действительно равно сумме двух соседних сверху: 10 = 4+6 из строки n=4, 5 = 1+4 и так далее. Если нужно найти C(7,3), а строка треугольника под рукой, быстрее выписать несколько строк подряд, чем считать факториалы с нуля.
Бином Ньютона и откуда взялось название
Формула бинома Ньютона раскрывает степень суммы двух слагаемых:
(a+b)^n = сумма по k от 0 до n из C(n,k) × a^(n-k) × b^k
Ключевой момент: числа C(n,k) в этой сумме - это ровно те же биномиальные коэффициенты, которые считает калькулятор выше. Отсюда и название - коэффициенты бинома.
Простейший пример при n=2: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Коэффициенты перед членами - 1, 2, 1. Сверяем с формулой: C(2,0) = 2!/(0!×2!) = 1, C(2,1) = 2!/(1!×1!) = 2, C(2,2) = 2!/(2!×0!) = 1. Совпадает полностью, и это не совпадение случайности, а прямое следствие того, как раскрывается произведение (a+b)(a+b).
При n=3 та же логика даёт (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, коэффициенты 1, 3, 3, 1 - и это в точности строка треугольника Паскаля для n=3, которую легко проверить отдельно: C(3,0)=1, C(3,1)=3, C(3,2)=3, C(3,3)=1.
Где применяют биномиальные коэффициенты
В теории вероятностей они лежат в основе биномиального распределения - формулы для вероятности ровно k успехов в n независимых испытаниях. В статистике через них выражаются доверительные интервалы для долей. В программировании биномиальные коэффициенты всплывают в задачах на подсчёт путей в решётке и в анализе сложности алгоритмов. В алгебре, помимо разложения (a+b)^n, они появляются в формулах для производных произведения функций и в комбинаторных тождествах.
Как пользоваться калькулятором
Введите n - общее число элементов, и r - сколько из них выбираете. Убедитесь, что режим установлен на “Сочетания” (порядок не важен) - именно этот режим и вычисляет биномиальный коэффициент C(n,r). Второй режим, “Размещения”, считает похожую, но другую величину A(n,r), где порядок выбора имеет значение - для биномиальных коэффициентов он не нужен. Результат обновляется сразу при вводе, без отдельной кнопки.