Дисперсия - одна из базовых характеристик разброса данных в статистике. Она отвечает на простой вопрос: насколько сильно числа в наборе отличаются друг от друга и от своего среднего значения. Калькулятор на этой странице принимает список чисел через запятую или пробел и сразу выдаёт среднее, дисперсию, стандартное отклонение и среднее абсолютное отклонение.
Понятие дисперсии применяется в разных областях: от анализа измерений в физике до оценки риска в финансах и контроля качества на производстве. Если вы работаете с рядом чисел и хотите понять, насколько они однородны, дисперсия - первое, что стоит посчитать.
Формула расчёта
Расчёт занимает три действия:
- Укажите значения в полях числа через запятую или пробел.
- Калькулятор подставит их в формулу и посчитает результат.
- Итог выводится под калькулятором вместе с разбором расчёта.
Формула дисперсии выглядит так:
дисперсия = сумма((x - среднее)²) / количество чисел
Расчёт идёт в три шага. Сначала находится среднее арифметическое всех чисел выборки - сумма значений делится на их количество. Затем для каждого числа вычисляется отклонение от этого среднего и возводится в квадрат: так плюсы и минусы не гасят друг друга при суммировании. Наконец все квадраты отклонений складываются, и сумма делится на количество чисел.
Калькулятор также считает стандартное отклонение - корень из дисперсии, и среднее абсолютное отклонение - сумму модулей отклонений от среднего, делённую на количество чисел. Эти три показателя дополняют друг друга и вместе дают полную картину разброса.
Пример 1
Возьмём шесть чисел: 4, 8, 6, 5, 3, 7.
Сначала находим среднее: (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7) / 6 = 33 / 6 = 5,5.
Вычисляем отклонения от среднего и возводим их в квадрат: (4 - 5,5)² = 2,25 (8 - 5,5)² = 6,25 (6 - 5,5)² = 0,25 (5 - 5,5)² = 0,25 (3 - 5,5)² = 6,25 (7 - 5,5)² = 2,25
Сумма квадратов отклонений: 2,25 + 6,25 + 0,25 + 0,25 + 6,25 + 2,25 = 17,5.
Дисперсия: 17,5 / 6 ≈ 2,917.
Стандартное отклонение здесь составит корень из 2,917, то есть примерно 1,708. Типичное отклонение отдельного числа от среднего 5,5 составляет около 1,7 единицы.
Пример 2
Теперь возьмём восемь чисел: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Среднее: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5.
Квадраты отклонений от среднего: (2 - 5)² = 9 (4 - 5)² = 1, таких значений три, вклад в сумму 1 × 3 = 3 (5 - 5)² = 0, таких значений два, вклад 0 (7 - 5)² = 4 (9 - 5)² = 16
Сумма квадратов отклонений: 9 + 3 + 0 + 4 + 16 = 32.
Дисперсия: 32 / 8 = 4.
Стандартное отклонение равно корню из 4, то есть ровно 2. Разброс данных здесь выражен нагляднее, чем в первом примере: типичное отклонение значения от среднего пятёрки составляет 2 единицы.
Зачем считать дисперсию на практике
Дисперсия помогает сравнить стабильность разных процессов. Если два станка производят детали с одинаковым средним размером, но у одного дисперсия размеров выше, этот станок работает менее стабильно и требует настройки. В финансах дисперсия доходности используется как показатель риска: чем она выше, тем сильнее колеблется результат от периода к периоду. В спорте и образовании дисперсия результатов показывает, насколько однородна группа участников.
Дисперсия и стандартное отклонение: что использовать
Дисперсия удобна для математических выкладок и лежит в основе многих статистических методов, включая дисперсионный анализ. Но у неё есть неудобное свойство - единицы измерения возводятся в квадрат. Если исходные данные это сантиметры, дисперсия будет в квадратных сантиметрах, что трудно интерпретировать напрямую. Поэтому для наглядного представления разброса чаще берут стандартное отклонение - оно возвращает исходную единицу измерения.
Типичные ошибки при расчёте вручную
При ручном подсчёте дисперсии часто забывают возвести отклонения в квадрат и просто суммируют разности, из-за чего результат получается нулевым - плюсы и минусы взаимно гасятся. Другая ошибка - деление суммы квадратов не на то количество чисел, особенно если в выборке есть повторы. Мешают и промежуточные округления: если округлить среднее до целого перед вычислением отклонений, итоговая дисперсия исказится. Калькулятор снимает эти риски, считая с полной точностью.
Среднее абсолютное отклонение как альтернатива
Наряду с дисперсией калькулятор выводит среднее абсолютное отклонение - сумму модулей отклонений от среднего, делённую на количество чисел. Эта метрика не возводит отклонения в квадрат, а берёт их по модулю, поэтому она менее чувствительна к выбросам и иногда лучше отражает типичный разброс для несимметричных наборов данных. Сравнение дисперсии, стандартного и среднего абсолютного отклонения на одной выборке даёт более полную картину, чем любой показатель по отдельности.