Гипотенуза - сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла и всегда длиннее двух других сторон, катетов. Найти её можно по одной формуле, известной ещё со школы, но на практике люди чаще ищут не саму формулу, а быстрый ответ на конкретные числа. Введите длины катетов в калькулятор выше - гипотенуза, площадь треугольника и оба острых угла посчитаются сразу.
Формула гипотенузы: теорема Пифагора
Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника простым равенством: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = a² + b²
Отсюда сама гипотенуза находится через корень:
c = √(a² + b²)
Здесь a и b - катеты, стороны, образующие прямой угол, а c - гипотенуза. Формула работает только для прямоугольного треугольника - если прямого угла нет, теорема Пифагора неприменима, и придётся использовать теорему косинусов.
Как найти гипотенузу: пошагово
Возьмите длину каждого катета и возведите её в квадрат. Сложите два получившихся числа. Извлеките из суммы квадратный корень - это и будет длина гипотенузы. Три действия, никаких дополнительных данных не нужно, кроме длин катетов.
Пример 1: треугольник 3-4-5
Самый известный прямоугольный треугольник с целыми сторонами - катеты 3 и 4, гипотенуза 5. Проверим по формуле.
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Площадь такого треугольника - половина произведения катетов: (3 × 4) / 2 = 6.
Острые углы находятся через арктангенс отношения катетов. Угол напротив катета 3 равен arctan(3/4) ≈ 36,87°, угол напротив катета 4 равен arctan(4/3) ≈ 53,13°. В сумме с прямым углом получаем 90 + 36,87 + 53,13 = 180°, как и должно быть у любого треугольника.
Тройку 3-4-5 называют египетской - есть версия, что древние землемеры использовали верёвку с двенадцатью узлами, растягивая её в такой треугольник, чтобы получить точный прямой угол без каких-либо измерительных приборов.
Пример 2: треугольник 6-8-10
Возьмём катеты вдвое больше - 6 и 8.
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
Площадь: (6 × 8) / 2 = 24.
Углы остаются теми же, что и в первом примере: arctan(6/8) = arctan(3/4) ≈ 36,87°, второй угол ≈ 53,13°. Это не совпадение - треугольник 6-8-10 подобен треугольнику 3-4-5, просто все стороны увеличены в два раза, а у подобных фигур углы всегда одинаковые. Меняется только масштаб, форма остаётся той же.
Где теорема Пифагора применяется на практике
Строительство. Метод 3-4-5 - способ проверить прямой угол на месте, без теодолита и лазерного уровня. От угла фундамента откладывают 3 метра в одну сторону, 4 метра в другую, и если расстояние между конечными точками равно ровно 5 метрам, угол прямой. Строители пользуются этим приёмом и сегодня, просто иногда берут не 3-4-5, а кратные числа - 6-8-10 или 9-12-15, чтобы точность была выше на большой площади.
Навигация. Если судно или самолёт прошло определённое расстояние на восток и определённое на север, кратчайший путь обратно к точке старта - это гипотенуза получившегося прямоугольного треугольника. Тот же принцип используют при прокладке маршрутов и расчёте отклонения от курса.
Физика. Разложение силы или скорости на составляющие по осям X и Y превращает векторную задачу в прямоугольный треугольник, где сама сила - гипотенуза, а проекции на оси - катеты. Так считают, например, дальность броска тела под углом или результирующую скорость при движении с двумя векторами.
Экраны и мониторы. Диагональ телевизора или монитора, та самая цифра в дюймах, которую производители указывают в характеристиках, - это гипотенуза прямоугольника, образованного шириной и высотой экрана.
Обратная задача: найти катет по гипотенузе
Если известна гипотенуза и один катет, второй находится через ту же формулу, только в обратную сторону: b = √(c² - a²). Например, при гипотенузе 13 и катете 5 второй катет равен √(169 - 25) = √144 = 12 - ещё одна известная пифагорова тройка, 5-12-13.
Частая ошибка при расчёте гипотенузы
Иногда путают, какую сторону куда подставлять, и вычитают квадраты катетов вместо сложения, получая в итоге не ту сторону, а разность. Запомнить порядок просто: гипотенуза - самая длинная сторона, поэтому её квадрат всегда больше, чем квадрат любого катета по отдельности, а значит квадраты катетов складываются, а не вычитаются. Вычитание годится только для обратной задачи, когда ищут катет по гипотенузе и второму катету.