Калькулятор чисел Фибоначчи считает любой член последовательности - от первого до тысячного. Введите номер, и калькулятор выведет само число и десять последних членов ряда перед ним. Ниже - как устроена последовательность, таблица первых значений и при чём тут золотое сечение.
Что такое последовательность Фибоначчи
Правило простое: каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Последовательность начинается с 0 и 1, а дальше строится сама собой.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 3 = 8. Каждое число зависит только от двух соседей слева, поэтому ряд можно продолжать сколько угодно, не держа в голове ничего, кроме двух последних значений.
Придумал эту последовательность не сам Фибоначчи - её знали задолго до него в Индии, при описании стихотворных размеров. Но именно итальянский математик Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке ввёл её в европейскую науку через задачу о размножении кроликов.
Таблица первых 10 чисел Фибоначчи
Нумерация в таблице совпадает с тем, что выдаёт калькулятор на этой странице: F(1) - первый член, F(10) - десятый.
| Номер | Значение |
|---|---|
| F(1) | 0 |
| F(2) | 1 |
| F(3) | 1 |
| F(4) | 2 |
| F(5) | 3 |
| F(6) | 5 |
| F(7) | 8 |
| F(8) | 13 |
| F(9) | 21 |
| F(10) | 34 |
Обратите внимание: F(2) и F(3) оба равны 1 - это единственное место в последовательности, где два соседних числа совпадают. Дальше значения растут без повторов, причём довольно быстро - уже к тридцатому члену число переваливает за полмиллиона.
Как пользоваться калькулятором
Введите в поле номер числа от 1 до 1000 - калькулятор сразу покажет F(n) и десять членов последовательности, которые ему предшествуют. Для крупных номеров результат получается длинным: F(100) - это число из 21 цифры, а F(500) занимает больше сотни знаков. Калькулятор работает с такими значениями без округления и без потери точности, в отличие от обычного инженерного калькулятора или таблиц Excel, где большие числа Фибоначчи начинают округляться из-за ограничений формата чисел с плавающей запятой.
Золотое сечение и числа Фибоначчи
Если разделить число Фибоначчи на предыдущее, получится значение, которое с ростом номера всё точнее приближается к золотому сечению - числу φ ≈ 1,618.
34 ÷ 21 ≈ 1,619 55 ÷ 34 ≈ 1,618 89 ÷ 55 ≈ 1,618
Чем дальше по последовательности, тем ближе отношение соседних чисел к φ. Это не совпадение и не мистика, а следствие самого правила построения ряда - оно строго доказывается через формулу Бине, где число Фибоначчи выражается напрямую через степени золотого сечения.
Числа Фибоначчи в природе
Спираль на срезе раковины наутилуса приближённо повторяет форму, которую задаёт золотое сечение, а значит и связана с последовательностью Фибоначчи. У подсолнуха семена в корзинке расположены по двум пересекающимся спиралям, и число спиралей в каждом направлении почти всегда оказывается соседними числами Фибоначчи - например, 34 и 55. Похожая закономерность встречается в расположении листьев на стебле и в ветвлении некоторых деревьев: так растению удаётся равномернее распределить свет и место для роста. Это не универсальный закон природы, а статистическая тенденция - у части растений и раковин пропорции числам Фибоначчи не соответствуют вовсе.
Где ещё встречаются числа Фибоначчи
В программировании последовательность - классическая задача для тренировки рекурсии и динамического программирования, потому что на ней хорошо видна разница между наивным и оптимизированным алгоритмом. В биржевой аналитике трейдеры используют уровни коррекции Фибоначчи (23,6%, 38,2%, 61,8%) для прогноза разворотов цены - метод спорный с точки зрения статистической доказательности, но широко распространённый на практике. В музыке и архитектуре золотое сечение иногда закладывают в пропорции сознательно, ссылаясь именно на связь с рядом Фибоначчи.