Дисперсия показывает, насколько сильно числа в наборе разбегаются вокруг своего среднего значения. Два набора данных могут иметь одинаковое среднее, но выглядеть совершенно по-разному: в одном все значения кучкуются рядом с центром, в другом разлетаются в стороны. Дисперсия и переводит эту разницу в конкретное число. Введите свои значения в калькулятор выше - он посчитает среднее, дисперсию и стандартное отклонение сразу, без лишних кнопок.
Формула дисперсии
Дисперсия - это среднее значение квадратов отклонений каждого числа от среднего арифметического. Формула выглядит так:
D = Σ(xᵢ - x̄)² / n
где x̄ - среднее арифметическое набора, xᵢ - каждое отдельное значение, n - количество чисел. Порядок действий простой: находите среднее, вычитаете его из каждого числа, результат возводите в квадрат, все квадраты складываете и делите сумму на количество значений.
Стандартное отклонение получают из дисперсии одним дополнительным шагом - извлечением квадратного корня: σ = √D. Это число уже в тех же единицах, что и исходные данные, поэтому его удобнее использовать для практических выводов - например, сравнивать с самим средним значением.
Как найти дисперсию: пример расчёта
Возьмём набор чисел 4, 8, 6, 5, 3, 7 - именно они стоят в калькуляторе по умолчанию, можно свериться.
Среднее арифметическое: (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7) / 6 = 33 / 6 = 5,5.
Дальше находим отклонение каждого числа от среднего и возводим в квадрат:
| Число | Отклонение от среднего | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| 4 | -1,5 | 2,25 |
| 8 | 2,5 | 6,25 |
| 6 | 0,5 | 0,25 |
| 5 | -0,5 | 0,25 |
| 3 | -2,5 | 6,25 |
| 7 | 1,5 | 2,25 |
Сумма квадратов: 2,25 + 6,25 + 0,25 + 0,25 + 6,25 + 2,25 = 17,5.
Дисперсия: 17,5 / 6 ≈ 2,9167.
Стандартное отклонение: √2,9167 ≈ 1,708.
Получается, что типичное значение из этого набора отклоняется от среднего 5,5 примерно на 1,7 единицы в ту или другую сторону.
Зачем возводить отклонения в квадрат
Если просто сложить отклонения от среднего, сумма всегда даст ноль - положительные и отрицательные значения взаимно гасятся, среднее для того и вычисляется, чтобы уравновешивать данные с обеих сторон. Чтобы отклонения не гасили друг друга, их можно взять по модулю или возвести в квадрат.
С модулем получается среднее отклонение - более простая для интуитивного понимания величина. Но квадрат ведёт себя иначе: он не просто убирает знак, а ещё и усиливает вклад больших отклонений. Число, которое отличается от среднего вдвое сильнее другого, после возведения в квадрат добавит в сумму вчетверо больше. Из-за этого дисперсия острее реагирует на выбросы, чем среднее отклонение по модулю - и в этом её практическая ценность: она сигнализирует и о разбросе, и о наличии редких, но крупных отклонений.
Дисперсия генеральной совокупности и выборочная дисперсия
Здесь часто путаются, потому что формул на самом деле две. Если данные охватывают всю совокупность целиком - скажем, рост всех сотрудников небольшой компании, - сумму квадратов отклонений делят на n, общее количество значений. Это и есть та формула, что используется в калькуляторе выше.
Если же данные - лишь выборка из более крупной генеральной совокупности, например замеры 50 деталей из партии в 10000, применяют другую формулу: сумму делят на n - 1. Такая поправка (её называют поправкой Бесселя) компенсирует то, что выборочное среднее почти всегда чуть отличается от истинного среднего всей совокупности, и без коррекции дисперсия выборки в среднем занижала бы реальный разброс.
На практике разница между n и n - 1 заметна только на маленьких выборках. При 5-10 значениях она меняет результат ощутимо, при нескольких сотнях - почти не влияет на итоговое число.
Где используется дисперсия
В теории вероятностей дисперсия случайной величины показывает, насколько предсказуем результат случайного эксперимента. В финансах через дисперсию доходности оценивают волатильность актива - чем она выше, тем сильнее колеблется цена. В контроле качества дисперсия размеров деталей сигнализирует, насколько стабильно работает оборудование: рост дисперсии при том же среднем размере часто указывает на разладку станка ещё до явного брака.
Частые ошибки при расчёте дисперсии
Самая распространённая ошибка - забыть квадрат и усреднить отклонения по модулю, получив на самом деле среднее отклонение вместо дисперсии. Это разные величины, подставлять одну вместо другой в дальнейшие расчёты нельзя.
Вторая ошибка - перепутать n и n - 1 при работе с выборкой. Третья - забыть про единицы измерения: дисперсия всегда в квадратных единицах исходных данных, и её нельзя напрямую сравнивать с самими значениями. Для сопоставления с исходными числами нужно стандартное отклонение, а не дисперсия.