Факториал числа n - это произведение всех целых чисел от 1 до n. Обозначается восклицательным знаком: 5! читается как “пять факториал”. Калькулятор ниже считает факториал для любого целого числа от 0 до 500, включая гигантские результаты в сотни цифр, которые вручную не перемножить.
Как посчитать факториал 5
Возьмём 5! - классический пример из учебника. Формула простая: перемножаем все числа от 1 до 5 подряд.
1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
Считаем по шагам: 1×2 = 2, дальше 2×3 = 6, потом 6×4 = 24, и наконец 24×5 = 120. Получаем 5! = 120. Именно столько существует способов расставить 5 разных предметов в ряд - например, рассадить пятерых человек на пяти стульях или расставить пять пронумерованных книг на полке.
Факториал 10 чему равен: разбор расчёта
Число побольше - 10!. Множителей уже десять, поэтому промежуточный результат растёт заметно быстрее.
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3 628 800
Если считать по шагам: после умножения первых пяти чисел уже получается 120 (это как раз 5!, что логично). Дальше 120×6 = 720, 720×7 = 5040, 5040×8 = 40 320, 40 320×9 = 362 880, и последний шаг 362 880×10 = 3 628 800. Итог: 10! = 3 628 800. Число выросло с трёх цифр у 5! до семи цифр у 10! - и это только начало.
Зачем нужен факториал
Главное практическое применение факториала - подсчёт числа перестановок. Если у вас есть n различных объектов и нужно узнать, сколькими способами их можно расставить в ряд, ответ - это n!. Пять разных книг на полке дают 5! = 120 вариантов порядка. Десять человек, рассаживающихся за стол по кругу или в ряд, дают уже 3 628 800 комбинаций - отсюда видно, насколько быстро растёт число вариантов даже при небольшом увеличении n.
Факториал также лежит в основе формул сочетаний и размещений, которые применяют в теории вероятностей, статистике, комбинаторных задачах на олимпиадах и в криптографии при оценке количества возможных ключей.
Почему 0! равно 1
Многих сбивает с толку, что факториал нуля равен единице, а не нулю. Здесь дело не в умножении, а в определении: факториал считает число способов расставить набор предметов. Если предметов нет, набор пустой, и расставить его можно единственным способом - никак, оставить как есть. Поэтому по определению 0! = 1. Это значение не случайно: оно делает формулы сочетаний и размещений универсальными, без отдельных оговорок для случая, когда один из параметров равен нулю.
Факториал растёт очень быстро
Скорость роста факториала - главная особенность, которая удивляет при первом знакомстве с ним. Пока n маленькое, числа выглядят обычно: 3! = 6, 5! = 120. Но уже 15! равно 1 307 674 368 000 - больше триллиона. А 20! - это 2 432 902 008 176 640 000, число из девятнадцати цифр. Для сравнения, 25! содержит уже 26 цифр, а 100! - 158 цифр, что превышает число атомов в наблюдаемой Вселенной по некоторым оценкам.
Такой темп роста называют факториальным - он обгоняет и линейный, и экспоненциальный рост. Именно поэтому обычный калькулятор или таблица Excel быстро перестают справляться: нужны большие целые числа без округления, которые и считает калькулятор выше.
Как пользоваться калькулятором факториала
Введите целое число от 0 до 500 в поле выше - результат появится сразу, без отдельной кнопки. Калькулятор показывает полное значение n! без округления и количество цифр в результате, чтобы было видно, насколько велико получившееся число. Для значений больше нескольких десятков результат обычно уже не помещается в одну строку - это нормально, факториал действительно растёт настолько стремительно.
Ограничение диапазона до 500
Верхняя граница в 500 выбрана не случайно: 500! - это число из 1135 цифр, и для большинства практических задач такого диапазона с запасом хватает. Если нужен факториал числа больше 500, обычно речь идёт уже не о прикладной задаче, а о специализированных математических расчётах, где применяют приближённые формулы вроде формулы Стирлинга вместо точного перемножения.