Логарифм - одна из тех тем школьной программы, которая быстро забывается, если не пользоваться ей регулярно. А потом встречается в физике, программировании или финансовых расчётах, и приходится вспоминать заново. Калькулятор выше считает log по любому основанию, а заодно показывает натуральный и десятичный логарифм того же числа - удобно, если нужно свериться сразу по нескольким вариантам.
Что такое логарифм простыми словами
Логарифм отвечает на один конкретный вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число x. Если 2 в степени 3 даёт 8, то логарифм от 8 по основанию 2 равен 3. Это просто обратная операция к возведению в степень, ровно как деление обратно умножению.
Записывается это как log с маленьким числом-основанием внизу: log₂(8) = 3. Число под логарифмом называют аргументом, а нижний индекс - основанием. Оба параметра важны: логарифм одного и того же числа по разным основаниям почти всегда даёт разный результат.
Пример: log по основанию 2 от 8
Возьмём log₂(8). Вопрос звучит так: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8. Перебираем: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8. Совпадение нашлось на третьей степени, значит log₂(8) = 3.
Такие логарифмы с целым результатом встречаются, только когда аргумент - точная степень основания. С двойкой в основании это особенно наглядно: 2, 4, 8, 16, 32 - каждое следующее число это удвоение предыдущего, и логарифм просто считает, сколько раз мы удвоили единицу.
Пример: log по основанию 10 от 1000
Возьмём log₁₀(1000) - десятичный логарифм тысячи. Здесь тоже подбирается степень: 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000. Три шага, значит log₁₀(1000) = 3.
С основанием 10 закономерность видна сразу по числу нулей: логарифм от 10 равен 1, от 100 равен 2, от 1000 равен 3, от миллиона - 6. Десятичные логарифмы круглых чисел всегда выходят целыми, и именно поэтому основание 10 было таким удобным до появления электронных калькуляторов.
Когда результат не целое число: log по основанию 3 от 100
Не любое число - точная степень основания, и тогда логарифм получается дробным. Возьмём log₃(100). Целой степени тройки, которая давала бы ровно 100, не существует: 3⁴ = 81, а 3⁵ = 243, и сотня лежит где-то между ними.
Здесь и нужна формула смены основания: log по основанию b от x равен ln(x), делённому на ln(b). Натуральный логарифм ста составляет примерно 4,6052, натуральный логарифм тройки - примерно 1,0986. Делим одно на другое: 4,6052 / 1,0986 ≈ 4,1918. Число получилось между 4 и 5, что логично: мы же видели, что 100 стоит между 3⁴ и 3⁵.
Именно так и работает калькулятор выше - через натуральный логарифм, независимо от того, какое основание вы ввели.
Натуральный логарифм и десятичный: в чём разница
Натуральный логарифм, ln(x), считается по основанию e - иррациональному числу, равному примерно 2,71828. Оно возникает при описании процессов непрерывного роста: сложных процентов, начисляемых буквально ежесекундно, распада радиоактивных веществ, роста популяций. В математическом анализе ln встречается на каждом шагу, потому что производная от ln(x) - это просто 1/x.
Десятичный логарифм, lg(x), - это логарифм по основанию 10. Он был рабочей лошадкой ручных вычислений задолго до калькуляторов: логарифмические линейки и таблицы Брадиса строились именно на нём, ведь человеку проще ориентироваться в степенях десятки, чем в степенях e. Сегодня необходимость считать вручную отпала, но lg остался в некоторых шкалах измерений: децибелы для громкости звука, шкала Рихтера для землетрясений, водородный показатель pH - все они логарифмические по основанию 10, потому что диапазон измеряемых величин слишком широк для линейной шкалы.
Зачем вообще нужны логарифмы
Логарифмы удобны там, где числа растут или убывают на порядки. Вместо того чтобы сравнивать миллион с миллиардом напрямую, логарифм превращает это сравнение в разницу между 6 и 9 - гораздо нагляднее.
В программировании логарифм по основанию 2 показывает, сколько раз можно поделить число пополам, прежде чем дойти до единицы - это основа оценки сложности алгоритмов сортировки и поиска. В финансах натуральный логарифм используется для расчёта непрерывно начисляемых процентов.
Ограничения: какие числа подставлять нельзя
Под логарифмом может стоять только положительное число - ноль и отрицательные значения не подходят, потому что никакая степень положительного основания их не даёт. Основание тоже обязано быть положительным и не может равняться единице: единица в любой степени остаётся единицей, так что уравнение теряет смысл. Калькулятор выше сам подскажет, если введённые значения не подходят под эти условия.