Два класса написали одну и ту же контрольную, и в обоих средний балл получился 5,5. На бумаге классы выглядят одинаково. Но в одном классе почти все написали на 5 или 6, а в другом кто-то получил 3, а кто-то 8 - при том же самом среднем. Разницу между этими ситуациями и показывает стандартное отклонение: оно измеряет не сам уровень результата, а то, насколько сильно данные разбросаны вокруг среднего.
Калькулятор выше считает четыре показателя сразу: среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и среднее отклонение. Введите числа через запятую или пробел - результат обновится без нажатия кнопок.
Что такое стандартное отклонение простыми словами
Стандартное отклонение отвечает на вопрос: насколько типичное число в наборе отличается от среднего. Если отклонение маленькое, данные плотно сгруппированы вокруг среднего значения - разброс небольшой, результаты однородны. Если отклонение большое, числа разбросаны широко: среди них есть и заметно меньшие, и заметно большие значения.
Само по себе среднее арифметическое ничего не говорит о разбросе. Средний чек в кафе может быть 500 рублей и потому, что все посетители заказывают примерно на 500, и потому, что половина берёт только кофе за 150, а другая половина - полный обед за 850. Среднее одинаковое, картина за ним совершенно разная. Стандартное отклонение эту разницу и вскрывает.
Как считается: формула и разбор примера
Расчёт идёт в четыре шага.
- Находим среднее арифметическое - сумму всех чисел делим на их количество.
- Для каждого числа вычисляем отклонение от среднего и возводим его в квадрат.
- Складываем квадраты отклонений и делим на количество чисел - получаем дисперсию.
- Извлекаем квадратный корень из дисперсии - получаем стандартное отклонение.
Разберём на результатах теста шести учеников: 4, 8, 6, 5, 3, 7 баллов.
Среднее: (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7) / 6 = 33 / 6 = 5,5.
Отклонения от среднего: -1,5; 2,5; 0,5; -0,5; -2,5; 1,5.
Квадраты отклонений: 2,25; 6,25; 0,25; 0,25; 6,25; 2,25. Сумма квадратов - 17,5.
Дисперсия: 17,5 / 6 ≈ 2,917.
Стандартное отклонение: √2,917 ≈ 1,708 балла.
Получается, типичный результат отклоняется от среднего балла 5,5 примерно на 1,7 балла в ту или другую сторону. Ученик с 4 баллами и ученик с 7 баллами оба укладываются в этот разброс - их результаты вполне обычны для этой группы. А вот ученик с 8 баллами уже заметно выделяется на общем фоне.
Дисперсия и стандартное отклонение - в чём разница
Дисперсия - промежуточный результат, средний квадрат отклонений. Проблема с ней в том, что единицы измерения искажаются: если исходные числа - баллы, то дисперсия получается в «баллах в квадрате», а это неудобно сопоставлять с реальными данными. Стандартное отклонение решает эту проблему - извлекая корень, мы возвращаемся к исходным единицам измерения и можем сравнивать отклонение напрямую с самими числами.
Именно поэтому в отчётах и исследованиях почти всегда фигурирует стандартное отклонение, а дисперсия остаётся техническим шагом расчёта.
Правило трёх сигм
Для данных, которые подчиняются нормальному распределению - симметричному «колоколу» вокруг среднего - работает известное правило трёх сигм (сигма, σ, обозначает стандартное отклонение). Оно утверждает, что примерно 68% всех значений находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95% - в пределах двух отклонений, и почти все значения, 99,7%, укладываются в три отклонения.
На примере с тестом: если бы баллы всего класса подчинялись нормальному распределению со средним 5,5 и отклонением 1,7, то около 68% учеников получили бы от 3,8 до 7,2 балла. Это правило часто применяют в контроле качества, в финансах и в естественных науках, чтобы быстро оценить, насколько нетипичен тот или иной результат.
Таблица готовых значений стандартного отклонения
Выберите строку с количеством элементов, близким к вашему набору данных, чтобы оценить порядок величин всех показателей.
| Набор данных | Среднее | Дисперсия | Стандартное отклонение | Среднее отклонение |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 6 | 4,00 | 2,67 | 1,63 | 1,33 |
| 1, 3, 5, 7, 9 | 5,00 | 8,00 | 2,83 | 2,40 |
| 10, 20, 30, 40 | 25,00 | 125,00 | 11,18 | 10,00 |
| 5, 5, 5, 5, 5 | 5,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| 0, 10, 20, 30, 40, 50 | 25,00 | 291,67 | 17,08 | 15,00 |
| 100, 110, 120, 130 | 115,00 | 125,00 | 11,18 | 10,00 |
| 3, 6, 9, 12, 15, 18 | 10,50 | 26,25 | 5,12 | 4,50 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 4,50 | 5,25 | 2,29 | 2,00 |
| 50, 55, 60, 65, 70 | 60,00 | 50,00 | 7,07 | 6,00 |
| 2, 4, 4, 6, 8, 10 | 5,67 | 7,56 | 2,75 | 2,22 |
Где пригождаётся расчёт отклонений
В спорте стандартное отклонение показывает стабильность спортсмена: у одного бегуна время на дистанции почти не меняется от забега к забегу, у другого результаты скачут от отличных до слабых. Средний результат может совпадать, а вот предсказуемость - разная.
В финансах отклонение доходности - это, по сути, мера риска. Два актива с одинаковой средней доходностью за год могут вести себя совершенно по-разному: один растёт плавно, другой прыгает вверх-вниз каждую неделю.
В контроле качества на производстве отклонение размеров деталей от номинала показывает, насколько стабилен технологический процесс - маленький разброс означает, что оборудование и сырьё настроены хорошо.