Калькулятор решает линейные уравнения вида ax + b = c и квадратные уравнения ax² + bx + c = 0. Для линейных уравнений вычисляется корень по формуле x = (c − b) / a, для квадратных рассчитывается дискриминант и находятся один или два корня в зависимости от его значения.
Формулы для решения уравнений
Считать нужно так:
- Начните с исходных данных: a, b, c.
- Формула применяется сразу после ввода, пересчёт идёт на лету.
- Результат появится под формой: его можно сверить с таблицей на странице.
Линейное уравнение решается в один шаг:
x = (c − b) / a
Для квадратного уравнения сначала вычисляется дискриминант:
D = b² − 4ac
Затем находятся корни:
x = (−b ± √D) / (2a)
При положительном D уравнение имеет два различных корня, при нулевом один корень, при отрицательном действительных корней нет.
Решение линейного уравнения 3x + 5 = 20
Коэффициенты: a = 3, b = 5, c = 20. Подстановка в формулу:
x = (20 − 5) / 3 = 15 / 3 = 5
Проверка: 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20. Левая часть равна правой, решение верно.
Решение квадратного уравнения x² − 5x + 6 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант:
D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
Корни:
x₁ = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (5 − √1) / 2 = 4 / 2 = 2
Проверка для x = 3: 3² − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Проверка для x = 2: 2² − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Оба корня подходят.
Таблица типовых уравнений
| Уравнение | Дискриминант | Корни |
|---|---|---|
| 3x + 5 = 20 | нет | x = 5 |
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 3 и 2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | 2 |
| x² − 5x + 10 = 0 | −15 | действительных нет |
Для линейных уравнений дискриминант не вычисляется. При нулевом дискриминанте квадратное уравнение имеет кратный корень.
Как проверить корни вручную
Найденное значение x подставляется в исходное уравнение. Для линейного уравнения вычисляется ax + b и сравнивается с c. Для квадратного вычисляется ax² + bx + c, результат должен быть равен нулю.
Пример проверки для x² − 4x + 4 = 0 при x = 2:
2² − 4 × 2 + 4 = 4 − 8 + 4 = 0
Равенство выполняется, корень найден правильно. Если результат отличается от нуля больше чем на 0,001, расчёт содержит ошибку.
Частые ошибки при вычислении корней
Знак перед b в формуле квадратного уравнения меняется на противоположный: −b, а не b. Для уравнения x² − 5x + 6 = 0 подставляется −(−5) = 5. Ошибка в знаке приводит к неверным корням.
Дискриминант вычисляется до извлечения корня. Нельзя брать корень из b² и из 4ac по отдельности. Сначала находится разность, затем из неё извлекается корень.
Деление на 2a выполняется после сложения или вычитания в числителе. Формула (−b ± √D) / (2a) означает, что весь числитель делится на 2a.
Границы применимости калькулятора
Коэффициент a не может быть равен нулю ни в линейном, ни в квадратном уравнении. При a = 0 линейное уравнение превращается в b = c, а квадратное становится линейным. Калькулятор не обрабатывает такие случаи.
Для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом калькулятор показывает комплексные корни. В школьной программе такие уравнения считаются не имеющими решений, но математически корни существуют в комплексной плоскости.
Откуда берутся коэффициенты уравнения
Линейные уравнения возникают при расчёте пропорций, скоростей, стоимости. Если товар стоит a рублей за единицу, начальная сумма b, итоговая c, количество товара x находится из уравнения ax + b = c.
Квадратные уравнения описывают траектории движения, площади, физические процессы. Высота брошенного тела h = v₀t − gt²/2 приводится к квадратному уравнению при известной высоте. Коэффициенты могут быть дробными или отрицательными.
Дополнительные параметры квадратного уравнения
Калькулятор вычисляет сумму корней x₁ + x₂ = −b / a и произведение корней x₁ × x₂ = c / a. Эти формулы следуют из теоремы Виета и позволяют проверить расчёт без подстановки.
Для уравнения x² − 5x + 6 = 0 сумма корней: −(−5) / 1 = 5. Произведение: 6 / 1 = 6. Проверка: 3 + 2 = 5, 3 × 2 = 6. Значения совпадают.
Связанные расчёты в алгебре
Системы линейных уравнений с двумя переменными решаются методом подстановки или сложения. Из первого уравнения выражается одна переменная через другую, подставляется во второе уравнение.
Биквадратные уравнения вида ax⁴ + bx² + c = 0 сводятся к квадратным заменой y = x². Сначала решается квадратное уравнение ay² + by + c = 0, затем из каждого корня y извлекается квадратный корень для нахождения x.