Среднее гармоническое - самый недооценённый вид среднего. Школьная программа обычно ограничивается арифметическим, и когда в задаче встречается что-то вроде «половину пути ехал 60 км/ч, вторую половину 40 км/ч, найти среднюю скорость», рука тянется сложить и поделить на два. Ответ получается неверным. Калькулятор выше считает сразу три вида среднего - арифметическое, геометрическое и гармоническое, введите числа через запятую и сравните результаты.
Формула среднего гармонического
Для набора из n положительных чисел формула выглядит так: гармоническое среднее равно n, делённому на сумму обратных величин этих чисел.
H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)
Для двух чисел a и b формула упрощается до более узнаваемого вида: H = 2ab / (a + b). Именно эта версия чаще всего встречается в задачах про скорость и цену.
Формула требует, чтобы все числа были положительными. С нулём в наборе обратная величина не существует, а с отрицательными числами результат теряет смысл - он может оказаться отрицательным даже при положительных исходных данных.
Среднее гармоническое скорости: пример с поездкой туда и обратно
Классический случай, где нужно именно гармоническое среднее - равные расстояния, пройденные с разной скоростью. Машина едет из города А в город Б со скоростью 60 км/ч, а обратно тем же маршрутом - со скоростью 40 км/ч. Какая средняя скорость за всю поездку?
Интуиция подсказывает (60 + 40) / 2 = 50 км/ч. Это неверно. Правильный расчёт через среднее гармоническое:
H = 2 × 60 × 40 / (60 + 40) = 4800 / 100 = 48 км/ч
Разница в 2 км/ч кажется небольшой, но принцип важен. Средняя скорость - это общее расстояние, делённое на общее время, а не среднее от двух чисел скорости. На обратном пути, где скорость ниже, машина проводит на дороге больше времени. Пусть расстояние в одну сторону - 120 км. Туда уйдёт 120/60 = 2 часа, обратно - 120/40 = 3 часа. Итого 240 км за 5 часов, то есть 240/5 = 48 км/ч. Число совпало с гармоническим средним не случайно - формула для двух равных отрезков пути и есть их гармоническое среднее.
Арифметическое среднее 50 км/ч ошибается, потому что не учитывает, что медленный участок «весит» больше по времени. Гармоническое среднее автоматически даёт больший вес меньшей скорости, поэтому и оказывается ближе к реальности.
Как найти среднее гармоническое двух чисел: пример с 2 и 8
Возьмём пару попроще, без физического смысла - числа 2 и 8. Посчитаем все три вида среднего и сравним.
Арифметическое: (2 + 8) / 2 = 5. Геометрическое: √(2 × 8) = √16 = 4. Гармоническое: 2 × 2 × 8 / (2 + 8) = 32 / 10 = 3,2.
Три разных ответа для одной и той же пары чисел. Видно, что 3,2 меньше 4 меньше 5 - и это не совпадение конкретных цифр, а общее правило. Для любых положительных чисел, если они не все равны между собой, гармоническое среднее всегда меньше геометрического, а геометрическое всегда меньше арифметического. Равенство наступает только в вырожденном случае, когда все числа в наборе одинаковые - тогда все три средних совпадают.
Чем сильнее разброс между числами, тем заметнее расходятся все три вида среднего. На паре 2 и 8 разница уже ощутима, а на паре 1 и 100 гармоническое среднее окажется почти вдвое меньше геометрического.
Когда применять среднее гармоническое
Гармоническое среднее нужно там, где усредняются отношения одной величины к другой, а не сами величины напрямую.
- Средняя скорость на маршруте с равными по длине участками.
- Средняя цена за единицу товара, если на каждую покупку потрачена одна и та же сумма денег.
- Коэффициент P/E для портфеля акций с равными долями вложений.
- F-мера в машинном обучении - гармоническое среднее между точностью и полнотой модели.
- Средний темп бега на дистанции, разбитой на равные по расстоянию отрезки.
Общий признак этих ситуаций один: знаменатель дроби (время, деньги, вложения) должен быть одинаковым для каждого значения. Если равны не знаменатели, а числители - например, времена движения, а не расстояния - для средней скорости уже подойдёт обычное арифметическое среднее, взвешенное по времени.