Среднее геометрическое - не та величина, которую считают каждый день, но именно поэтому формула вылетает из головы в нужный момент. Калькулятор выше решает это за секунду: введите любые положительные числа через запятую, и рядом с обычным средним арифметическим появится геометрическое и гармоническое значения. Ниже - как это работает, откуда берётся формула и почему в финансовых расчётах геометрическое среднее иногда выдаёт совсем не тот ответ, что арифметическое.
Формула среднего геометрического
Среднее геометрическое n чисел - это корень n-й степени из их произведения:
G = ⁿ√(x₁ × x₂ × … × xₙ)
Для двух чисел формула упрощается до привычного квадратного корня из произведения. Для трёх чисел берётся кубический корень, для четырёх - корень четвёртой степени, и так далее. Правило простое: степень корня всегда равна количеству чисел в наборе.
Внутри калькулятор считает это через логарифмы: суммирует натуральные логарифмы всех введённых чисел, делит сумму на их количество и берёт экспоненту от результата. Математически это то же самое действие, что и извлечение корня из произведения, но для больших наборов чисел такой способ меньше подвержен ошибкам округления.
Работает формула только с положительными числами. Если среди значений попадётся ноль или отрицательное число, результат либо обнулится, либо не будет иметь смысла в области действительных чисел - корень чётной степени из отрицательного произведения не существует.
Как найти среднее геометрическое двух чисел: пример
Возьмём классический пример - числа 4 и 9. Перемножаем их: 4 × 9 = 36. Извлекаем квадратный корень: √36 = 6. Готово - среднее геометрическое чисел 4 и 9 равно 6.
Для сравнения, среднее арифметическое тех же чисел - (4 + 9) / 2 = 6,5. Геометрическое всегда меньше или равно арифметическому, и разница растёт вместе с разбросом между числами. Если взять числа 4 и 4, оба средних совпадут и дадут 4 - равенство наступает только когда все значения в наборе одинаковые.
Пример с несколькими числами: 4, 8, 6, 5
Когда чисел больше двух, расчёт устроен так же, просто корень становится другой степени. Возьмём набор 4, 8, 6, 5 - ровно те значения, что стоят в калькуляторе по умолчанию.
Перемножаем все четыре числа: 4 × 8 × 6 × 5 = 960. Извлекаем корень четвёртой степени из 960 - получается примерно 5,5663.
Для сравнения, среднее арифметическое этого же набора - (4 + 8 + 6 + 5) / 4 = 5,75. Разница небольшая, но она есть, и это нормально: чем сильнее числа отличаются друг от друга, тем заметнее расходятся два вида среднего.
Среднее геометрическое и доходность инвестиций: где арифметическое среднее обманывает
Здесь разница между двумя видами среднего перестаёт быть теоретической и начинает влиять на реальные деньги. Представим актив, который в первый год вырос на 50%, а во второй - упал на 50%. В множителях роста это выглядит так: год первый - умножаем стоимость на 1,5, год второй - умножаем на 0,5.
Если наивно усреднить проценты роста арифметически, получится (50% + (-50%)) / 2 = 0%, будто актив остался при своих. На деле это не так. Итоговый множитель за два года - произведение 1,5 × 0,5 = 0,75, то есть актив подешевел на 25%. Вложите 100 000 рублей - после двух лет останется 75 000, а не сто тысяч, как подсказывает арифметическое среднее.
Геометрическое среднее множителей роста считается правильно: √(1,5 × 0,5) = √0,75 ≈ 0,866. В среднем за год стоимость актива умножалась на 0,866, то есть падала примерно на 13,4% в год. Проверка сходится: 0,866² = 0,75 - тот же итог за два года, что и при прямом перемножении множителей. Поэтому среднюю доходность портфеля за несколько лет считают через геометрическое среднее, а не через усреднение процентов - иначе результат систематически завышается на просевших активах.
Когда использовать среднее геометрическое, а когда арифметическое
Правило простое: если величины складываются между собой (рост, вес, оценки за тест) - берите арифметическое среднее. Если величины умножаются одна на другую, как темпы роста из года в год, коэффициенты или масштабные пропорции - нужно геометрическое.
В финансах геометрическое среднее используют для среднегодовой доходности за несколько лет, в демографии - для среднего темпа роста населения, в полиграфии - для пропорций бумажных форматов серии A, где отношение сторон листа равно корню из двух. В бытовых задачах вроде среднего балла или средней температуры за неделю хватает обычного арифметического среднего.