Калькулятор решает линейные уравнения вида ax + b = c и квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 с дробными коэффициентами. Для линейных применяется формула x = (c − b) / a, для квадратных вычисляется дискриминант D = b² − 4ac и корни x = (−b ± √D) / (2a). Результат включает проверку, дискриминант, сумму и произведение корней.
Решение линейных уравнений с дробями
Последовательность действий:
- Заполните поля: a, b, c.
- Формула применяется сразу после ввода, пересчёт идёт на лету.
- Проверьте результат под полями ввода и при необходимости измените данные.
Линейное уравнение ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при x. Формула имеет вид:
x = (c − b) / a
Для уравнения 3x + 5 = 20 коэффициенты a = 3, b = 5, c = 20. Подстановка даёт x = (20 − 5) / 3 = 15 / 3 = 5. Проверка: 3 · 5 + 5 = 15 + 5 = 20, равенство выполнено.
Калькулятор автоматически вычисляет результат после ввода трёх коэффициентов. Дробные значения a, b, c допускаются, деление выполняется с точностью до нескольких знаков после запятой.
Как решать квадратные уравнения с дробями?
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решается через дискриминант. Последовательность расчёта:
D = b² − 4ac
x = (−b ± √D) / (2a)
Для уравнения x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Корни x₁ = (5 + 1) / 2 = 3 и x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.
Знак дискриминанта определяет количество корней. При положительном D существует два различных корня, при нулевом один корень, при отрицательном действительных корней нет.
Таблица типовых значений
| Уравнение | Дискриминант | Корни |
|---|---|---|
| 3x + 5 = 20 | нет | x = 5 |
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 3 и 2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | 2 |
| x² − 5x + 10 = 0 | −15 | действительных нет |
Линейные уравнения всегда имеют единственное решение при ненулевом коэффициенте a. Квадратные уравнения с положительным дискриминантом дают два корня, с нулевым один, с отрицательным ни одного в области вещественных чисел.
Проверка результата вручную
Проверка выполняется подстановкой найденного значения x в исходное уравнение. Для линейного уравнения 3x + 5 = 20 при x = 5 левая часть равна 3 · 5 + 5 = 20, что совпадает с правой.
Для квадратного уравнения x² − 4x + 4 = 0 с корнем x = 2 подстановка даёт 4 − 8 + 4 = 0. Равенство нулю подтверждаёт правильность. Если дискриминант равен нулю, оба корня совпадают, проверка выполняется один раз.
Дискриминант и его свойства
Дискриминант D = b² − 4ac показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение. Значение D = 1 для уравнения x² − 5x + 6 = 0 означает наличие двух различных корней. При D = 0 график параболы касается оси абсцисс в одной точке.
Отрицательный дискриминант D = −15 для уравнения x² − 5x + 10 = 0 указывает на отсутствие действительных корней. Калькулятор в таком случае выводит сообщение об отсутствии решений или показывает комплексные корни.
Сумма и произведение корней
Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b / a, произведение равно c / a. Для x² − 5x + 6 = 0 сумма 3 + 2 = 5 совпадает с −(−5) / 1 = 5, произведение 3 · 2 = 6 совпадает с 6 / 1 = 6.
Проверка через теорему Виета позволяет убедиться в правильности найденных корней без подстановки в уравнение. Калькулятор автоматически вычисляет сумму и произведение корней.
Частые ошибки при расчёте
Неправильный знак коэффициента b приводит к ошибке в дискриминанте. Для уравнения x² − 5x + 6 = 0 значение b = −5, а не 5. Забытое умножение на 4 в формуле дискриминанта искажает результат.
Деление на ноль возникает при a = 0. Уравнение перестаёт быть квадратным или линейным и требует отдельного рассмотрения. Калькулятор блокирует ввод нулевого коэффициента a.
Откуда берутся коэффициенты уравнений
Коэффициенты a, b, c задаются условием задачи или получаются приведением уравнения к стандартному виду. Уравнение 2x + 3 = 7 имеет a = 2, b = 3, c = 7 без преобразований.
Дробно-рациональные уравнения требуют умножения на общий знаменатель. Уравнение x / 2 + 1 = 3 после умножения на 2 превращается в x + 2 = 6, коэффициенты a = 1, b = 2, c = 6.
Связанные расчёты
Решение систем линейных уравнений требует нахождения корней нескольких уравнений одновременно. Калькулятор решает одно уравнение за раз, для систем используются матричные методы.
Нахождение экстремумов функции связано с решением уравнения производной. Производная квадратичной функции ax² + bx + c есть линейная функция 2ax + b, её корень x = −b / (2a) даёт вершину параболы.