Калькулятор рассчитывает гипотенузу прямоугольного треугольника по двум катетам. В результате выводятся длина гипотенузы, площадь треугольника и углы напротив каждого катета. Расчёт основан на теореме Пифагора.
Формула расчёта гипотенузы
Гипотенуза вычисляется по формуле:
c = √(a² + b²)
где a и b - катеты, c - гипотенуза. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = a · b / 2
Эти две формулы покрывают основные характеристики треугольника при известных катетах.
Пример расчёта с катетами 3 и 4
Для катетов a = 3 и b = 4 гипотенуза составляет:
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Площадь треугольника:
S = 3 · 4 / 2 = 12 / 2 = 6
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским. Он встречается в строительных задачах и геодезии как эталон прямого угла.
Таблица типовых значений катетов и гипотенузы
| Катет a | Катет b | Гипотенуза | Площадь |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 5 | 12 | 13 | 30 |
| 6 | 8 | 10 | 24 |
| 8 | 15 | 17 | 60 |
| 9 | 12 | 15 | 54 |
Все эти комбинации образуют пифагоровы тройки - целочисленные решения уравнения a² + b² = c². Треугольник 6-8-10 получается удвоением треугольника 3-4-5.
Как найти катет, если известна гипотенуза и второй катет
Катет a находится из формулы:
a = √(c² − b²)
Если гипотенуза c = 13, а катет b = 12, то:
a = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5
Эта формула следует из теоремы Пифагора путём переноса одного слагаемого в правую часть. Она применима только к прямоугольным треугольникам.
Проверка результата вручную
Для проверки полученной гипотенузы возводятся в квадрат все три стороны. Сумма квадратов катетов должна равняться квадрату гипотенузы. Для треугольника 5-12-13:
5² + 12² = 25 + 144 = 169 13² = 169
Равенство выполняется, значит расчёт верен. Если проверка не сходится, ошибка либо в вычислении корня, либо в исходных данных.
Частые ошибки при расчёте катета
Распространённая ошибка - попытка найти катет по формуле a = c − b. Вычитание сторон даёт неверный результат, потому что теорема Пифагора связывает квадраты сторон, а не сами стороны. Для c = 5 и b = 4 разность даёт 1, хотя правильный ответ 3.
Вторая ошибка - забыть извлечь квадратный корень. Выражение c² − b² даёт квадрат катета, а не сам катет. Для получения длины стороны корень обязателен.
Границы применимости формул
Формулы работают только для прямоугольных треугольников. В остроугольных и тупоугольных треугольниках теорема Пифагора не выполняется. Для них используются теорема косинусов или другие методы.
Катеты должны быть положительными числами. Гипотенуза всегда больше любого из катетов. Если при расчёте катета под корнем получается отрицательное число, исходные данные противоречивы.
Откуда берутся исходные данные для расчёта
Катеты измеряются непосредственно на местности, на чертеже или в CAD-системе. В строительстве катетами могут быть длина и ширина фундамента, высота и проекция ската крыши. В геодезии - горизонтальное проложение и превышение между точками.
Иногда катет вычисляется косвенно через другие параметры. Например, высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит его на два подобных треугольника, для которых катеты находятся через пропорции.
Как найти катет через гипотенузу и угол
Если известна гипотенуза c и угол α напротив катета a, то:
a = c · sin(α)
Если известен прилежащий к катету a угол β, то:
a = c · cos(β)
Калькулятор на этой странице не работает с углами, он требует оба катета. Для расчёта через угол нужен другой инструмент или тригонометрические функции.
Связанные расчёты для прямоугольного треугольника
Кроме гипотенузы и площади часто требуется найти периметр: P = a + b + c. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R = c / 2. Радиус вписанной окружности: r = (a + b − c) / 2.
Высота, опущенная на гипотенузу, вычисляется как h = (a · b) / c. Она делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны a² / c и b² / c. Эти величины используются в задачах на подобие и в инженерных расчётах.