Калькулятор вычисляет сторону правильного треугольника, вписанного в окружность заданного радиуса. Основная формула связывает сторону с радиусом описанной окружности через коэффициент √3. Инструмент также рассчитывает параметры сегментов круга: хорду, высоту сегмента, длину дуги по радиусу и центральному углу.
Формула стороны через радиус описанной окружности
Работа с формой сводится к трём шагам:
- Начните с исходных данных: задача, радиус окружности r, центральный угол, градусов.
- Значения подставляются в формулу автоматически, считать вручную не нужно.
- Итог выводится под калькулятором вместе с разбором расчёта.
Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле:
a = R·√3
Коэффициент √3 ≈ 1,732 возникает из геометрии правильного треугольника. Центральный угол между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, составляет 360°/3 = 120°. Хорда, стягивающая дугу 120°, и есть сторона треугольника.
Для окружности радиусом 10 единиц сторона равна 10·1,732 = 17,32. Периметр составит 51,96, площадь - 129,9.
Пример расчёта при радиусе 10
При радиусе R = 10 сторона вписанного равностороннего треугольника равна 17,32. Периметр получается умножением на три: 17,32·3 = 51,96. Площадь вычисляется по формуле S = (a²·√3)/4 = 129,9.
Сегмент круга с центральным углом 90° при том же радиусе имеет хорду 14,14, длину дуги 15,71 и площадь 28,5. Калькулятор выводит полную окружность 2πR = 62,83 и длину дуги одного градуса: 0,1745.
Таблица типовых значений
| Радиус R | Сторона a | Периметр | Площадь |
|---|---|---|---|
| 5 | 8,66 | 25,98 | 32,48 |
| 10 | 17,32 | 51,96 | 129,9 |
| 15 | 25,98 | 77,94 | 292,3 |
| 20 | 34,64 | 103,92 | 519,6 |
| 25 | 43,30 | 129,90 | 812,0 |
Площадь растёт пропорционально квадрату радиуса. При удвоении радиуса площадь увеличивается в четыре раза.
Проверка результата вручную
Сторона проверяется через теорему косинусов для треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Угол между радиусами равен 120°:
a² = R² + R² - 2R²·cos(120°)
Косинус 120° равен -0,5, подстановка даёт a² = 3R². Извлечение корня приводит к a = R·√3. Проверка при R = 10: a² = 300, a = 17,32.
Альтернативный способ использует формулу хорды: 2R·sin(α/2). Для α = 120° получается 2R·sin(60°) = 2R·(√3/2) = R·√3.
Частые ошибки при расчёте
Путаница между радиусом описанной и вписанной окружности приводит к неверному результату. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника равен r = a/(2√3), что вдвое меньше радиуса описанной.
Ошибка в угле между радиусами даёт неправильный коэффициент. Угол 60° вместо 120° приводит к формуле a = R вместо a = R·√3. Забытое умножение на √3 занижает сторону почти вдвое.
Границы применимости формулы
Формула справедлива для любого положительного радиуса. Треугольник остаётся правильным при любом масштабе окружности. Точность определяется количеством знаков в значении √3.
Для окружностей малого радиуса погрешность округления √3 до 1,732 может превысить допуск изготовления. Формула не применима к неправильным треугольникам или треугольникам, вписанным в эллипс.
Откуда берётся радиус описанной окружности
Радиус задаётся в конструкторских чертежах деталей с треугольными элементами. Машиностроительные фланцы имеют отверстия, расположенные по вершинам правильного треугольника на заданном диаметре.
В геодезии радиус определяется измерением расстояния от центральной точки до опорных реперов. В задачах планиметрии радиус находится из площади или периметра: R = (a·√3)/3.
Связь с параметрами сегмента круга
Калькулятор рассчитывает хорду сегмента по формуле 2R·sin(α/2), где α - центральный угол. Для треугольника каждая сторона является хордой дуги 120°. Подстановка даёт R·√3.
Высота сегмента вычисляется как R·(1 - cos(α/2)). Для угла 120° высота равна 0,5R. Длина дуги между вершинами составляет 2πR/3, что равно трети полной окружности.
Как вписать равносторонний треугольник в круг
Первая вершина размещается в произвольной точке окружности. Вторая вершина откладывается на дуге 120° от первой. Третья вершина располагается на дуге 120° от второй и от первой.
Построение циркулем выполняется радиусом R√3. Из первой вершины проводится дуга, пересекающая окружность в двух точках. Контроль правильности проверяется равенством всех трёх сторон и углов по 60°.