Конус на первый взгляд кажется сложной фигурой для расчётов, а на деле формула у него компактнее, чем у цилиндра или шара - разница только в одном множителе. Ниже калькулятор, который считает объём конуса по диаметру основания и высоте, плюс разбор формулы и пара примеров с реальными цифрами, чтобы можно было свериться вручную.
Формула объёма конуса
Объём конуса вычисляется по формуле:
V = (1/3) × π × r² × h
где r - радиус основания (половина диаметра), h - высота конуса от вершины до плоскости основания, π ≈ 3,14159.
Если известен диаметр, а не радиус, сначала поделите его на два. Именно так работает калькулятор выше: вводите диаметр основания и высоту, а деление на два и подстановку в формулу он делает сам, выдавая результат сразу в литрах.
Откуда берётся коэффициент 1/3
Многих смущает именно эта треть в формуле - откуда она вообще взялась. Ответ проще, чем кажется: конус составляет ровно треть от объёма цилиндра с тем же радиусом основания и той же высотой. Это можно проверить и на глаз, без всякой математики - если взять конусообразный стакан и цилиндрический стакан одинакового диаметра и высоты, конус нужно наполнить и перелить в цилиндр три раза, чтобы заполнить его до краёв.
Строгое доказательство этого соотношения делается через интегрирование площади сечений по высоте - площадь сечения конуса растёт пропорционально квадрату расстояния от вершины, а не линейно, отсюда и коэффициент 1/3 вместо простого произведения площади основания на высоту, как у цилиндра. Для практических расчётов вникать в вывод не обязательно, достаточно помнить готовую формулу и это сравнение с цилиндром - оно неплохо укладывается в голове.
Пример расчёта: конус диаметром 20 см и высотой 30 см
Возьмём конус с диаметром основания 20 см и высотой 30 см - размеры, характерные для небольшой воронки или сосуда.
Радиус: r = 20 / 2 = 10 см.
Объём: V = (1/3) × π × 10² × 30 = (1/3) × 9424,78 ≈ 3141,6 см³.
Переводим в литры, разделив на 1000: 3141,6 см³ ≈ 3,14 литра.
Второй пример: конический бункер диаметром 40 см и высотой 60 см
Теперь размеры покрупнее - конический бункер или ёмкость с диаметром верхнего среза 40 см и высотой 60 см.
Радиус: r = 40 / 2 = 20 см.
Объём: V = (1/3) × π × 20² × 60 = (1/3) × π × 400 × 60 = (1/3) × 75398,2 ≈ 25132,7 см³.
В литрах это 25132,7 / 1000 ≈ 25,13 литра. Обратите внимание, что диаметр увеличился вдвое, а высота - в два раза, но объём вырос почти в 24 раза: радиус входит в формулу в квадрате, поэтому даже небольшое увеличение диаметра сильно сказывается на итоговом объёме.
Таблица объёма конуса для типовых размеров
| Диаметр основания | Высота | Объём |
|---|---|---|
| 10 см | 15 см | 0,39 л |
| 15 см | 20 см | 1,18 л |
| 20 см | 30 см | 1,05 л |
| 30 см | 40 см | 9,42 л |
| 40 см | 60 см | 25,13 л |
| 50 см | 80 см | 52,36 л |
Таблица подходит для прикидки, но при нестандартных размерах проще ввести свои числа в калькулятор - результат обновляется сразу, без нажатия дополнительных кнопок.
Где на практике считают объём конического сосуда
Воронки - самый очевидный пример. Когда нужно понять, сколько сыпучего материала или жидкости пройдёт через воронку за один заход, считают именно объём её конической части, а не просто прикидывают на глаз.
Бункеры и накопители на производстве часто имеют коническую нижнюю часть - так материал легче ссыпается к выпускному отверстию. Для расчёта вместимости такого бункера конусную часть считают отдельно от цилиндрической и потом складывают.
В кулинарии и кондитерском деле конические формы встречаются постоянно: от формы для мороженого до кондитерского мешка. Объём в литрах или миллилитрах подсказывает, сколько начинки или крема войдёт в форму заданных размеров.
Геодезия и строительство используют формулу объёма конуса при расчёте объёма насыпей и куч сыпучих материалов - песка, щебня, грунта - которые естественным образом принимают форму, близкую к конической.
Частая ошибка при расчёте объёма конуса
Самая частая ошибка - подставить в формулу диаметр вместо радиуса. Поскольку радиус в формуле возводится в квадрат, эта ошибка не удваивает результат, а увеличивает его в четыре раза, что легко заметить, если результат кажется подозрительно большим. Вторая по частоте ошибка - забыть коэффициент 1/3 и посчитать объём как для цилиндра. Проверить себя просто: объём конуса всегда должен быть ровно втрое меньше объёма цилиндра с теми же радиусом основания и высотой.