Правильный шестиугольник удобно считать через разбиение: он состоит ровно из шести одинаковых равносторонних треугольников, сходящихся в центре. Посчитав площадь одного, остаётся умножить результат на шесть.
Формула расчёта
Как получить результат:
- Укажите значения в полях сторона a, сторона b, сторона c.
- Дальше работает формула - результат обновляется при каждом изменении.
- Результат появится под формой: его можно сверить с таблицей на странице.
Площадь одного равностороннего треугольника со стороной a по формуле Герона:
p = (a + a + a) / 2 = 1,5a
площадь треугольника = корень из p × (p-a)³
площадь шестиугольника = площадь треугольника × 6
Существует и прямая формула: площадь равна 3 × корень из 3, делённое на 2, и умноженное на a². Оба пути дают одинаковый результат.
В калькуляторе выбирают режим треугольника и вводят три равные стороны, затем умножают выданную площадь на шесть.
Пример: сторона 10
Вводим стороны 10, 10, 10.
p = 15, площадь треугольника = корень из (15 × 5 × 5 × 5) = корень из 1875 ≈ 43,3013
площадь шестиугольника = 43,3013 × 6 ≈ 259,81
Проверка по прямой формуле: 3 × 1,732 / 2 × 100 ≈ 259,81 - совпадает.
Пример: сторона 5
Вводим 5, 5, 5.
p = 7,5, площадь треугольника = корень из (7,5 × 2,5 × 2,5 × 2,5) ≈ 10,8253
площадь шестиугольника = 10,8253 × 6 ≈ 64,95
При уменьшении стороны вдвое площадь упала вчетверо - площадь всегда меняется как квадрат линейного размера.
Почему шестиугольник делится именно так
Центр правильного шестиугольника равноудалён от всех вершин, и расстояние до вершины равно длине стороны. Поэтому каждый из шести секторов оказывается треугольником с тремя равными сторонами - равносторонним. У других правильных многоугольников такого совпадения нет.
Высота и диагонали
Высота равностороннего треугольника со стороной 10 равна примерно 8,66 - это же расстояние от центра шестиугольника до середины стороны, называемое апофемой. Большая диагональ шестиугольника равна удвоенной стороне, малая - стороне, умноженной на корень из трёх.
Шестиугольник в укладке плитки
Шестиугольная плитка укладывается без зазоров, полностью покрывая плоскость, - это одна из трёх фигур с таким свойством наряду с квадратом и треугольником. Разделив площадь пола на площадь одной плитки, получаете количество элементов до подрезки.
Соты и экономия периметра
Из всех фигур, замощающих плоскость, шестиугольник даёт наименьший периметр при заданной площади. Именно поэтому пчелиные соты шестиугольные: на стенки уходит минимум воска при максимуме объёма ячеек.
Проверка расчёта
Быстрая проверка: площадь правильного шестиугольника примерно в 2,598 раза больше квадрата стороны. Для стороны 10 это 259,8, для стороны 4 около 41,6. Если результат заметно отличается от этого соотношения, в расчёте ошибка.
Вписанная и описанная окружности
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, а вписанной - апофеме, то есть стороне, умноженной на корень из трёх и делённой на два. Для стороны 10 это 10 и примерно 8,66 соответственно.
Периметр и соотношение с площадью
Периметр правильного шестиугольника равен шести сторонам, для стороны 10 это 60. Отношение площади к периметру растёт с размером фигуры, поэтому крупные шестиугольные элементы экономичнее по расходу материала на обрамление.
Таблица площадей для типовых размеров стороны
| Сторона a (см) | Площадь (см²) | Сторона a (см) | Площадь (см²) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2,60 | 21 | 1143,07 |
| 2 | 10,39 | 22 | 1254,89 |
| 3 | 23,38 | 23 | 1371,11 |
| 4 | 41,57 | 24 | 1491,72 |
| 5 | 64,95 | 25 | 1616,74 |
| 6 | 93,53 | 26 | 1746,15 |
| 7 | 127,31 | 27 | 1879,96 |
| 8 | 166,28 | 28 | 2018,17 |
| 9 | 210,44 | 29 | 2160,78 |
| 10 | 259,81 | 30 | 2307,79 |
| 11 | 314,37 | 35 | 3175,43 |
| 12 | 374,12 | 40 | 4157,44 |
| 13 | 439,07 | 45 | 5253,82 |
| 14 | 509,22 | 50 | 6494,57 |
| 15 | 584,57 | 60 | 9353,07 |
| 16 | 665,11 | 70 | 12701,91 |
| 17 | 750,84 | 80 | 16541,10 |
| 18 | 841,77 | 90 | 20870,65 |
| 19 | 937,90 | 100 | 25990,38 |
| 20 | 1039,23 | 150 | 58478,36 |
Как найти площадь шестиугольника через радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности R равен стороне a, поэтому формула площади через радиус выглядит так: 3 × корень из 3 / 2 × R². Если известен радиус описанной окружности 10, подставляем: 3 × 1,732 / 2 × 100 ≈ 259,81. Если известен радиус вписанной окружности r, сначала находим сторону: a = 2r / корень из 3. При r = 8,66 получаем a ≈ 10, площадь снова 259,81.
Сценарий: расчёт площади основания беседки
Беседка в форме правильного шестиугольника со стороной 3 метра. Переводим в сантиметры: 300 см. По таблице для стороны 30 см площадь 2307,79 см². Сторона увеличена в 10 раз, площадь вырастает в 100 раз: 2307,79 × 100 = 230779 см² или 23,08 м². Проверка: 3 × 1,732 / 2 × 9 = 23,382 м² - близкое значение с учётом округлений в таблице.
Сценарий: количество шестиугольной плитки на комнату
Комната 4 × 5 метров, площадь 20 м² или 200000 см². Плитка-шестиугольник со стороной 15 см. Из таблицы площадь одной плитки 584,57 см². Делим: 200000 / 584,57 ≈ 342 плитки. С запасом на подрезку 10% получается 376 штук. Если взять плитку со стороной 20 см (площадь 1039,23 см²), потребуется 200000 / 1039,23 ≈ 192 штуки, с запасом 212.
Сценарий: сравнение площадей шестиугольника и квадрата с равной стороной
Квадрат со стороной 10 имеет площадь 100. Шестиугольник с той же стороной - 259,81. Шестиугольник больше в 2,598 раза. Для стороны 5: квадрат 25, шестиугольник 64,95, соотношение то же. Для стороны 20: квадрат 400, шестиугольник 1039,23, снова 2,598. Коэффициент постоянен для любого размера.
Какая площадь у шестигранника со стороной 1 метр
Сторона 1 метр = 100 см. Из таблицы для 10 см площадь 259,81 см². Сторона больше в 10 раз, площадь в 100 раз: 259,81 × 100 = 25981 см² = 2,598 м². По формуле: 3 × 1,732 / 2 × 1 = 2,598 м². Для быстрой оценки: квадрат метровой стороны 1 м², умножаем на 2,598, получаем площадь шестиугольника.
Чему равна площадь основания призмы с шестиугольным сечением
Призма с правильным шестиугольником в основании и стороной основания 8 см. Из таблицы площадь основания 166,28 см². Высота призмы 12 см, объём равен площадь основания × высота = 166,28 × 12 = 1995,36 см³. Если сторона основания 6 см (площадь 93,53 см²) и высота 15 см, объём 93,53 × 15 = 1402,95 см³.