Калькулятор определяет прогиб балки для четырёх расчётных схем: двух опор с равномерной нагрузкой или силой посередине, консоли с равномерной нагрузкой или силой на конце. Расчёт выполняется по классическим формулам сопротивления материалов с учётом модуля упругости и геометрических характеристик сечения. Результат сравнивается с предельными значениями L/200 или L/150 в зависимости от схемы опирания.
Формулы расчёта прогиба балки
Калькулятор вычисляет максимальный прогиб балки в миллиметрах и сравнивает его с нормативным пределом. Для балки на двух опорах с равномерной нагрузкой применяется формула 5qL⁴/384EI, где q - распределённая нагрузка в кН/м, L - пролёт в метрах, E - модуль упругости материала в МПа, I - момент инерции сечения в мм⁴. Для сосредоточенной силы посередине пролёта формула меняется на FL³/48EI.
Консольные балки рассчитываются по формулам qL⁴/8EI для равномерной нагрузки и FL³/3EI для силы на конце. Предельный прогиб для балок на двух опорах составляет L/200, для консолей L/150. Момент инерции прямоугольного сечения вычисляется как ширина × высота³ / 12, момент сопротивления как ширина × высота² / 6.
Калькулятор использует четыре значения модуля упругости: сталь 200 000 МПа, алюминий 70 000 МПа, древесина 10 000 МПа, железобетон 30 000 МПа.
Расчёт деревянной балки перекрытия
Балка из древесины сечением 50×200 мм на пролёте 4 м несёт равномерную нагрузку 2 кН/м. Модуль упругости древесины 10 000 МПа. Момент инерции сечения: 50 × 200³ / 12 = 33 333 333 мм⁴.
Прогиб по формуле 5qL⁴/384EI: 5 × 2 × 4000⁴ / (384 × 10 000 × 33 333 333) = 20,0 мм. Предельный прогиб L/200 = 4000/200 = 20 мм. Фактический прогиб равен предельному, то есть балка работает на границе нормы и запаса не имеет.
Изгибающий момент для равномерной нагрузки на двух опорах: qL²/8 = 2 × 4² / 8 = 4 кН·м. Момент сопротивления: 50 × 200² / 6 = 333 333 мм³. Напряжение: 4 000 000 Н·мм / 333 333 мм³ = 12 МПа.
Таблица типовых значений для разных материалов
| Материал | Модуль упругости, МПа | Прогиб балки 50×200 мм на 4 м, мм |
|---|---|---|
| Сталь | 200 000 | 1,0 |
| Алюминий | 70 000 | 2,9 |
| Железобетон | 30 000 | 6,7 |
| Древесина | 10 000 | 20,0 |
Таблица показывает прогиб для одинаковой геометрии и нагрузки 2 кН/м. Стальная балка прогибается в 20 раз меньше деревянной за счёт высокого модуля упругости.
Как проверить онлайн калькулятор балки вручную
Для сечения 100×150 мм момент инерции: 100 × 150³ / 12 = 28 125 000 мм⁴. Прогиб балки на пролёте 3 м с нагрузкой 3 кН/м: 5 × 3 × 3000⁴ / (384 × 10 000 × 28 125 000) = 11,25 мм.
Предельный прогиб: 3000 / 200 = 15 мм. Отношение фактического к предельному: 3,56 / 15 = 0,24, или 24% от допустимого. Изгибающий момент: 3 × 3² / 8 = 3,375 кН·м. Момент сопротивления: 100 × 150² / 6 = 375 000 мм³. Напряжение: 3 375 000 / 375 000 = 9 МПа.
Влияние высоты сечения на жёсткость балки
Момент инерции прямоугольного сечения зависит от высоты в третьей степени. Балка 50×200 мм имеет момент инерции 33,33×10⁶ мм⁴, а балка 50×100 мм всего 4,17×10⁶ мм⁴. Уменьшение высоты вдвое увеличивает прогиб в восемь раз.
Доску 50×200 мм ставят на ребро (высота 200 мм), а не плашмя (высота 50 мм). Установка плашмя увеличивает прогиб в 64 раза. Ширина влияет на жёсткость линейно: две доски 50×200 мм рядом дают момент инерции вдвое больше одной.
Частые ошибки при расчёте на изгиб
Ошибка в единицах измерения приводит к неверному результату. Пролёт подставляется в миллиметрах, если момент инерции в мм⁴, или все величины переводятся в метры и м⁴. Нагрузка в кН/м умножается на 1000 для перевода в Н/м.
Путаница в схемах нагружения меняет прогиб в разы. Формула для равномерной нагрузки на двух опорах даёт прогиб в 2,5 раза больше, чем для сосредоточенной силы той же суммарной величины. Консоль с силой на конце прогибается в 16 раз сильнее балки на двух опорах с той же силой посередине.
Связь расчёта прогиба доски с расчётом на прочность
Проверка по прогибу гарантирует жёсткость конструкции, но не исключает разрушения. Напряжение в сечении не должно превышать расчётное сопротивление: для древесины изгиб 8-13 МПа в зависимости от сорта, для стали 210-230 МПа.
Для деревянной балки 50×200 мм на пролёте 4 м с нагрузкой 2 кН/м напряжение 12 МПа близко к пределу. Увеличение нагрузки до 3 кН/м даёт напряжение 18 МПа, что превышает допустимое для древесины 2-3 сорта. Прогиб составляет 15 мм, что ещё в пределах L/200 = 20 мм.