Слово «среднее» в разговоре почти всегда значит одно и то же действие - сложить и поделить. Но у статистики на этот счёт есть ещё два инструмента, которые в определённых задачах точнее и честнее обычного среднего арифметического. Калькулятор выше считает сразу три вида среднего для одного и того же набора чисел, чтобы разница была видна не в теории, а на конкретных цифрах.
Три вида среднего: арифметическое, геометрическое, гармоническое
Среднее арифметическое - сумма чисел, делённая на их количество. Формула: (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Это то самое среднее из школы, знакомое всем.
Среднее геометрическое - корень n-й степени из произведения n чисел. Формула: ⁿ√(x₁ × x₂ × … × xₙ). Работает только для положительных чисел - под корнем не должно получаться отрицательное значение.
Среднее гармоническое - количество чисел, делённое на сумму обратных величин. Формула: n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ). Тоже требует положительных чисел, иначе в знаменателе может оказаться ноль или отрицательное число.
Пример на числах 2 и 8: наглядная разница
Возьмём простой набор - два числа, 2 и 8.
Арифметическое: (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5.
Геометрическое: √(2 × 8) = √16 = 4.
Гармоническое: 2 × 2 × 8 / (2 + 8) = 32 / 10 = 3,2.
Три числа, три разных ответа, хотя исходные данные одни и те же. Разброс между 3,2 и 5 - это почти 40%, и это не ошибка калькулятора, а нормальное свойство трёх разных формул.
Почему гармоническое всегда меньше геометрического, а геометрическое - арифметического
Для любого набора положительных чисел, которые не все равны между собой, верно неравенство:
гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое
На примере с 2 и 8 это 3,2 ≤ 4 ≤ 5, ровно по порядку. Равенство наступает в одном-единственном случае - когда все числа в наборе одинаковые. Возьмите набор 5, 5, 5: любое из трёх средних даст те же 5, потому что усреднять там, по сути, нечего.
Чем сильнее числа отличаются друг от друга, тем заметнее расходятся три значения. На наборе 1 и 100 разница станет огромной: арифметическое даст 50,5, геометрическое - 10, гармоническое - около 1,98. Именно большие выбросы и растягивают неравенство.
Когда какое среднее уместно
Арифметическое - для сложения однородных величин
Средний балл за тесты, средняя зарплата по отделу, средний чек в магазине - везде, где числа можно физически сложить и результат сохраняет смысл. Это самый частый и самый безопасный выбор по умолчанию.
Геометрическое - для темпов роста и коэффициентов
Если считаете средний темп роста за несколько лет - выручка выросла на 10%, потом на 30%, потом упала на 5% - складывать проценты нельзя, это даст искажённый результат. Геометрическое среднее коэффициентов роста показывает реальную среднегодовую динамику. Та же логика применима к средней ставке за несколько периодов инвестирования.
Гармоническое - для скоростей и отношений «величина на единицу»
Классический пример - средняя скорость на маршруте, если известны скорости на равных по длине участках пути. Если ехали 60 км/ч туда и 40 км/ч обратно по одному и тому же расстоянию, среднюю скорость всего пути даёт гармоническое среднее, а не арифметическое (которое покажет завышенные 50 км/ч). Та же логика для среднего курса валют при покупке на одинаковую сумму денег в разные дни, или для среднего расхода топлива, посчитанного через литры на 100 км.
Как читать результат калькулятора
Введите числа через запятую или пробел - калькулятор сразу пересчитает все три средних без нажатия дополнительных кнопок. Если хотя бы одно число в наборе отрицательное или равно нулю, геометрическое и гармоническое посчитать нельзя - в этом случае калькулятор покажет только арифметическое, а рядом с двумя остальными строками появится пояснение об ограничении.
Проверить себя просто: если все три результата совпали, значит, все введённые числа одинаковые. Если нет - самое маленькое значение всегда гармоническое, самое большое - арифметическое, а геометрическое стоит ровно посередине.